投毒毒死家畜的行为可能构成故意毁坏财物罪，如果投毒行为危害到公共安全，还可能构成投放危险物质罪。
投毒毒死家畜的行为性质需要根据具体的情况和相关法律规定来综合判断。故意毁坏财物罪，是指故意毁灭或者损坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的行为。家畜属于他人的财物，如果行为人明知自己的投毒行为会导致家畜死亡，并希望或者放任这种结果的发生，且造成的财物损失达到一定数额或者具有其他严重情节，就可能构成故意毁坏财物罪。
然而，如果投毒的行为不仅仅是针对特定的家畜，而是可能危及不特定多数人的生命、健康或者重大公私财产安全，比如在公共水源等地投毒，那么这种行为就可能构成投放危险物质罪。
在判断是否构成犯罪以及构成何种犯罪时，需要考虑投毒的场所、投毒的对象、投毒的目的、造成的后果等多种因素。例如，如果投毒是为了报复特定的家畜主人，且投毒的范围局限于该主人的家畜饲养场所，那么更倾向于认定为故意毁坏财物罪。但如果投毒的地点是公共牧场或者可能影响到周边众多居民和其他动物的区域，其危害公共安全的可能性就大大增加。
此外，即便最终的定罪是故意毁坏财物罪，对于造成的经济损失，行为人也需要承担相应的民事赔偿责任，赔偿家畜主人的财产损失。总之，投毒毒死家畜是一种严重的违法行为，必然会受到法律的制裁。
法律依据：
《中华人民共和国刑法》
第一百一十四条【放火罪】【决水罪】【爆炸罪】【投放危险物质罪】【以危险方法危害公共安全罪】放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法危害公共安全，尚未造成严重后果的，处三年以上十年以下有期徒刑。
第一百一十五条【放火罪】【决水罪】【爆炸罪】【投放危险物质罪】【以危险方法危害公共安全罪】放火、决水、爆炸以及投放毒害性、放射性、传染病病原体等物质或者以其他危险方法致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
【失火罪】【过失决水罪】【过失爆炸罪】【过失投放危险物质罪】【过失以危险方法危害公共安全罪】过失犯前款罪的，处三年以上七年以下有期徒刑;情节较轻的，处三年以下有期徒刑或者拘役。
第二百七十五条【故意毁坏财物罪】故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金;数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
第二百三十二条【故意杀人罪】故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑;情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。
第二百七十六条【破坏生产经营罪】由于泄愤报复或者其他个人目的，毁坏机器设备、残害耕畜或者以其他方法破坏生产经营的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制;情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。
